Las aportaciones de Arquímedes a las matemáticas fueron de gran categoría científica. Su método fue fundamentalmente geométrico, obteniendo conclusiones que no sólo representaron un gran avance sobre la geometría, sino que también llevan al cálculo integral. Fue el primer matemático conocido del que se tienen noticias que calculó el área limitada por un segmento parabólico en el intervalo [0,1], determinando la suma de las áreas de los rectángulos inscritos y circunscritos.
En Geometría sus escritos más importantes fueron:
De la Esfera y el Cilindro, donde introduce el concepto de concavidad, que Euclides no había utilizado, así como ciertos postulados referentes a la línea recta.
De los Conoides y Esferoides en donde define las figuras engendradas por la rotación de distintas secciones planas de un cono.
De las Espirales en donde analiza estas importantes curvas y analiza sus elementos más representativos.
En Aritmética son, fundamentalmente dos los escritos más interesantes:
El Arenario en el que expone un método para escribir números muy largos dando a cada cifra un orden diferente según su posición.
De la medida del Círculo una de sus obras fundamentales, donde demuestra que la razón entre la circunferencia y el diámetro está comprendida entra 3 10/7 y 3 1/7; dicha relación es conocida en la actualidad.
- Demuestra además la equivalencia entre el área del círculo y un triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio y el perímetro (longitud) de la circunferencia.
Arquímedes comunicó a Eratóstenes (bibliotecario de Alejandría) los razonamientos seguidos en las custiones geométricas. Los mismos se recogen en una obra fundamental: El Método. (Algo así, según algunas investigaciones, como una comunicación entre colegas al más alto nivel).
Cuenta la tradición que Arquímedes indicó que sobre su tumba se esculpiera un cilindro y en él una esfera inscrita. La relación entre los volúmenes de ambos cuerpos es
V Cilindro = 3/2 V Esfera
Pare llegar a dicho resultado, Arquímedes comparó una semiesfera con un cilindro y un cono recto de bases un círculo máximo de la semiesfera. Obtuvo sobre dichos cuerpos tres secciones al cortar por un plano paralelo a las bases y comparó las áreas obtenidas.
Superficie Sección Semiesfera
S 1 = pi × r 12 = pi ×(R 2 - x 2) = pi ×R 2 - pi ×x 2
Superficie Sección Cilindro
S 2 = pi × r 22 = pi ×R 2
Superficie Sección Cono
S 3 = pi × r 32 = pi ×x 2 (pues x = r 3)
Es decir, que para una sección dada se establece la proporción
S 1 = S 2 - S 3
por lo que
V Semiesfera = V Clindro - V Cono = 2/3 × pi× R 3
Como el volumen del cilindro circunscrito a la esfera de radio R es 2 × pi× R 3 resulta
V Esfera = 2/3 VCilindro circunscrito
